Constellation, le dépôt institutionnel de l'Université du Québec à Chicoutimi

Résumé

Ce mémoire porte sur la théorie des espèces introduite par André Joyal en 1981. Développée systématiquement par Bergeron, Labelle et Leroux au LaCIM, la théorie donne une élégante présentation de la théorie des séries formelles et possède des applications dans plusieurs disciplines allant de la combinatoire énumérative à la physique statistique. Une opération importante de la théorie consiste en l'opération de dérivation pour laquelle Labelle et Lamathe ont introduit en 2009 une généralisation de l'opérateur différentiel standard D en donnant une interprétation combinatoire à Ω(X,D)F(X), où Ω(X,T) et F(X) sont des espèces à deux et une sortes d'éléments respectivement. Yeh a montré que de tels opérateurs peuvent être décomposés de façon unique en sommes de produits d'opérateurs plus simples appelés opérateurs différentiels combinatoires atomiques. Dans leur article, Labelle et Lamathe ont présenté une liste des premiers opérateurs différentiels atomiques. Dans ce mémoire, nous apportons une contribution originale à la théorie des espèces. En particulier, nous explicitons plusieurs notions de cette théorie en fournissant notamment une preuve détaillée d'un théorème, dû à Labelle et Lamathe, permettant de calculer l'application d'un opérateur moléculaire sur une espèce donnée. Ensuite, nous donnons deux algorithmes permettant de déterminer si un opérateur différentiel moléculaire donné est atomique. Nous étendons ensuite la liste des opérateurs différentiels donnée dans (Labelle et Lamathe, 2009). Les résultats de ce travail furent présentés à la conférence GASCom 2012 qui eut lieu à l'université de Bordeaux du 25 au 27 juin 2012.